斜拉橋穩(wěn)定性整體分析
2018-05-07
結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是指在外力作用下結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)開始喪失穩(wěn)定性，稍有擾動，也會引起很大的位移和變形，甚至發(fā)生破壞。此時(shí)雖然截面的內(nèi)力并未超過它的最大抵抗能力，但結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)發(fā)生了分支，或者是隨著變形的發(fā)展內(nèi)外力的平衡己不可能得到，于是結(jié)構(gòu)在外荷載基本不變的情況下可能發(fā)生很大的位移最后導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。
一、穩(wěn)定理論的發(fā)展概況
與橋梁結(jié)構(gòu)相關(guān)的穩(wěn)定理論已有悠久的歷史，同時(shí)橋梁失穩(wěn)事故的發(fā)生促進(jìn)了橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展。早在1744年歐拉（L.Euler）就進(jìn)行了彈性壓桿屈曲的理論計(jì)算。在國內(nèi)對于斜拉橋的穩(wěn)定性問題，李國豪等提出了采用空間桿系屈曲有限元方法進(jìn)行計(jì)算的思路，并給出了計(jì)算斜拉橋平面屈曲臨界荷載的近似方法。
根據(jù)結(jié)構(gòu)經(jīng)受任意微小外界干擾后，能否恢復(fù)初始平衡狀態(tài)，可把平衡狀態(tài)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定和隨遇三種。研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的主要目的就在于防止不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的發(fā)生。由失穩(wěn)前后平衡和變形性質(zhì)，可以把穩(wěn)定問題分為兩大類：第一類穩(wěn)定，即分支點(diǎn)失穩(wěn)問題。見圖1；第二類穩(wěn)定，即極值點(diǎn)失穩(wěn)問題，見圖2。
圖1 分支點(diǎn)失穩(wěn)
圖2極值點(diǎn)失穩(wěn)
二、斜拉橋的第一類穩(wěn)定問題
在斜拉橋建設(shè)的初期，跨徑一般較小，再加上計(jì)算手段的不成熟，通常只考慮第一類穩(wěn)定問題，而且常把塔和梁分離開來單獨(dú)考慮其穩(wěn)定性。對斜拉橋穩(wěn)定性較精確的分析方法是有限元法，這種方法可求得斜拉橋整體的屈曲安全度。
在有限元分析中，斜拉橋被離散為許多單元。如果知道各個(gè)單元的力和位移的關(guān)系，則不難推出整體結(jié)構(gòu)的力和位移的關(guān)系。值得注意的是，在壓桿剛度矩陣中，需要考慮軸向力對剛度的影響。對于第一類穩(wěn)定問題而言，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)是處于小變形范圍，大位移矩陣[KL]較小，通常忽略不計(jì)。
空間梁單元在小變形下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?（1）
—單元的剛度矩陣；
—單元的彈性剛度矩陣；
—單元幾何剛度矩陣。還與初始軸力N有關(guān)，所以也稱為初始應(yīng)力剛度矩陣。幾何剛度矩陣使單元?jiǎng)偠劝l(fā)生了變化，主要是由于軸力在桿彎曲時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)所致。當(dāng)軸力是拉力時(shí)，桿的剛度變大，即強(qiáng)化(增加)了單元?jiǎng)偠染仃?；?dāng)軸力是壓力時(shí)，桿的剛度變小，即軟化(減小)了單元?jiǎng)偠染仃嚒?
然后，將各個(gè)單元的剛度矩陣，集合成整個(gè)結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，將作用于各單元的等效結(jié)點(diǎn)力列陣，集合成總的載荷列陣。于是得到以整體剛度矩陣[K]、載荷列陣{F}以及整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣{δ}表示的整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程
[K]{δ}={F}(2)
即 (3)
一般來講，式(3)的系數(shù)矩陣是非奇異的，它只有零解{δ}=0。表示原來的非撓曲的平衡是穩(wěn)定平衡。設(shè)外力按比例增加λ倍，單元軸力成為λP，由于
[Kσ]與荷載大小有關(guān)，整體的幾何剛度矩陣變?yōu)?lambda;[Kσ]。整體平衡方程則成為：
(4)
如果λ足夠大，使得結(jié)構(gòu)達(dá)到隨遇平衡狀態(tài)，即當(dāng){δ}變?yōu)?{δ}+{Δδ})時(shí)，平衡方程式(4)也能滿足，即有：
(5)
同時(shí)滿足式(4)和式(5)的條件是
(6)
由此可見，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析最終歸結(jié)為廣義特征值問題。{Δδ}=0是式(6)的一組解，表示結(jié)構(gòu)未發(fā)生失穩(wěn)變形的情況，這組解并不是我們需要的。為了使式(6)取得非零解，則要求：
(7)
這就是計(jì)算穩(wěn)定安全系數(shù)的特征方程，若為n階，在理論上可得到n個(gè)特征值，相應(yīng)地可由式(6)求出n個(gè)特征向量，它們分別表示各階穩(wěn)定安全系數(shù)的大小及相應(yīng)的屈曲模式。對于穩(wěn)定問題，有實(shí)際意義的只是最小正特征值所對應(yīng)的臨界荷載端λminP。如果特征方程式(7)沒有正特征值，說明在這種荷載下結(jié)構(gòu)沒有失穩(wěn)問題，例如桿在軸向拉力下就不會發(fā)生失穩(wěn)問題。
λ稱為特征值，也叫比例因子或載荷因子，作用荷載P乘以它就等于臨界屈曲荷載Pcr。作用荷載可以是任意的，如果給定荷載P是單位荷載，特征值即是屈曲荷載，如果給定荷載P是實(shí)際荷載，特征值即為該結(jié)構(gòu)的屈曲安全系數(shù)，總之，它們的乘積Pcr保持不變。
三、斜拉橋的第二類穩(wěn)定問題
第二類穩(wěn)定問題可以理解為求結(jié)構(gòu)極限荷載的問題。從設(shè)計(jì)的角度講，現(xiàn)行的承載能力極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法是從“極限設(shè)計(jì)”的思想中引出的概念。傳統(tǒng)的“強(qiáng)度設(shè)計(jì)”以構(gòu)件最大工作應(yīng)力乘以安全系數(shù)等于材料的屈服應(yīng)力為依據(jù)。但是，在一般的情況下，構(gòu)件某截面開始屈服并不能代表結(jié)構(gòu)完全破壞，結(jié)構(gòu)所能承受的荷載通常較構(gòu)件開始屈服時(shí)的荷載要大。為了利用這一結(jié)構(gòu)強(qiáng)度儲備量，“極限設(shè)計(jì)”提出了極限荷載的概念。即引起結(jié)構(gòu)完全崩潰的荷載，并將結(jié)構(gòu)的工作荷載取為極限荷載的一個(gè)固定的部分。顯然這種考慮方式更為合理。
斜拉橋穩(wěn)定性分析中，對于第一類穩(wěn)定問題的分析一般采用彈性有限元方法，通過特征值求解得出一階特征值作為穩(wěn)定安全系數(shù)，其計(jì)算原則為：
(1)假設(shè)失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于小變形狀態(tài)，不考慮斜拉橋的各種非線性特征；
(2)計(jì)入施工過程中位移和應(yīng)力的疊加效應(yīng)。
對于第二類穩(wěn)定問題的分析一般采用荷載增量求解的非線性有限元方法，通過非線性方程的求解得出結(jié)構(gòu)的極限承載力，從而得出結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)，其計(jì)算原則為：
(1)考慮梁—柱效應(yīng)、大位移效應(yīng)及斜拉索垂度效應(yīng)；
(2)計(jì)入施工過程中位移和應(yīng)力的疊加效應(yīng)；
(3)考慮主梁和混凝土橋塔的材料非線性；
(4)考慮單根構(gòu)件極限承載能力的影響；
(5)考慮施工過程中臨時(shí)支架支點(diǎn)的單向受力(僅受壓)特性。
考慮單根構(gòu)件極限承載能力的影響及支架支點(diǎn)的單向受力特性屬于邊界非線性問題。因而第二類穩(wěn)定問題包含了幾何非線性、材料非線性及邊界非線性，屬于多重非線性問題。
綜合第一類穩(wěn)定和第二類穩(wěn)定的計(jì)算原則，研究穩(wěn)定問題時(shí)，可對下列情形進(jìn)行計(jì)算分析：
(1)第一類穩(wěn)定性分析；
(2)僅考慮幾何非線性的穩(wěn)定性分析；
(3)同時(shí)考慮幾何非線性和支架支點(diǎn)單向受力特性的穩(wěn)定性分析；
(4)同時(shí)考慮幾何非線性和材料非線性的穩(wěn)定性分析；
(5)根據(jù)第二類穩(wěn)定性計(jì)算原則，進(jìn)行極限承載能力分析。
上述計(jì)算情形的依次計(jì)算分析，既可以得出斜拉橋各種非線性因素對穩(wěn)定性安全系數(shù)的影響及一般規(guī)律，又是編制、調(diào)試斜拉橋穩(wěn)定計(jì)算程序和檢查模型正確性的必要步驟。
四、斜拉橋穩(wěn)定性判別標(biāo)準(zhǔn)及評價(jià)方法
（一）結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則
判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性一般可采用能量準(zhǔn)則、靜力準(zhǔn)則及動力準(zhǔn)則。前面介紹的方法均屬于靜力準(zhǔn)則。以下介紹能量準(zhǔn)則對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。
由能量原理可知，如果結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，則它的總勢能泛函∏的變分為零，即：
δΠ=0 (8)
如果Π*表示平衡狀態(tài)發(fā)生微小改變的總勢能泛函，則將Π*按Tayler級數(shù)展開可得：
Π*=Π+δΠ+1/2δ2Π (9)
因?yàn)樵谄胶鉅顟B(tài)由式(14)，得總勢能泛函的增量為：
ΔΠ*=Π*-Π=1/2δ2Π (10)
如果只取二階微小量，則由此可得判斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的能量準(zhǔn)則：
如果δ2Π>0，則Π為極小值，結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；
如果δ2Π<0，則Π為極大值，結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；
如果δ2Π=0，則Π為駐值，結(jié)構(gòu)處于臨界平衡狀態(tài)。
利用變分原理可得：
δ2Π=Δ{δ}T[K]Δ{δ}(11)
因此判斷穩(wěn)定性的能量準(zhǔn)則可變?yōu)?
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}>0，則穩(wěn)定平衡；
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}<0，則穩(wěn)定不平衡；
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}=0，則臨界平衡。
式中[K]為剛度矩陣，如果[K]正定，則平衡是穩(wěn)定的；如果[K]負(fù)定，則平衡是不穩(wěn)定的；如果[K]奇異，即det[K]=0，則平衡處于臨界狀態(tài)，它對應(yīng)的荷載就是臨界荷載。
（二）結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的評價(jià)指標(biāo)
對于穩(wěn)定性評價(jià)指標(biāo)，最直觀的即為穩(wěn)定安全系數(shù)。對斜拉橋的整體穩(wěn)定性能，規(guī)范并沒有明確規(guī)定斜拉橋的整體穩(wěn)定安全系數(shù)。一般來說，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)是相對于某種特定荷載而言的。在非線性穩(wěn)定分析方面，對加載方式目前還沒有統(tǒng)一的根據(jù)，它的選擇大多取決于設(shè)計(jì)者的意圖，目前對于穩(wěn)定安全系數(shù)的計(jì)算主要有兩種方法。
1、第一種方法
對于斜拉橋施工過程中各狀態(tài)以及成橋狀態(tài)的整體非線性失穩(wěn)安全系數(shù)，現(xiàn)定義為結(jié)構(gòu)在喪失承載能力前所能承受的荷載量與設(shè)計(jì)荷載量的比值。即：
{Pcr}=λ{Psj} （12)
式中：λ—穩(wěn)定承載能力安全系數(shù)；
{Pcr}—某工況下結(jié)構(gòu)在失穩(wěn)時(shí)的總荷載(包括恒載、活載)：
{Psj}—某工況下結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)荷載(包括恒載、活載)。
結(jié)構(gòu)穩(wěn)定安全系數(shù)λ為：
λ={Pcr}/{Psj}（13)
2、第二種方法
結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的總荷載可表示為：
{Pcr}={Pd}+λ1{P1}（14)
式中：{Pcr}為結(jié)構(gòu)總的失穩(wěn)荷載；
{Pd}為此階段開始施工前的恒載；
{P1}為施工階段新增恒載或成橋階段的活載；
λ1為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)相對于{P1}的加載倍數(shù)。
結(jié)構(gòu)穩(wěn)定安全系數(shù)λ為：
(15)
這兩類穩(wěn)定安全系數(shù)的定義都能反映出斜拉橋的穩(wěn)定安全儲備。第一種定義反映了結(jié)構(gòu)對所有荷載的安全儲備能力：第二種定義將結(jié)構(gòu)現(xiàn)有恒載看作不變量，僅考慮結(jié)構(gòu)新增恒載或活載的安全儲備能力。
雖然工程結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)大多屬于第二類穩(wěn)定問題，但作為第二類穩(wěn)定問題的上限，第一類穩(wěn)定問題的特征值求解還是具有一定的應(yīng)用價(jià)值，在一個(gè)粗略的范圍內(nèi)它能夠評價(jià)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。斜拉橋第一類穩(wěn)定性的安全評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一般參照斜拉橋試用規(guī)范，要求第一類穩(wěn)定安全系數(shù)大于4。
根據(jù)國內(nèi)已建橋梁的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，在結(jié)構(gòu)的空間分析模型中，考慮幾何非線性及單根構(gòu)件極限承載力的影響后，只要穩(wěn)定安全系數(shù)在2.0以上，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性可以得到保證。因此，斜拉橋第二類穩(wěn)定性的安全評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為其穩(wěn)定安全系數(shù)應(yīng)大于2.0。
五、結(jié)論
?。?）介紹了穩(wěn)定理論及其發(fā)展概況；
?。?）詳細(xì)地論述了兩類穩(wěn)定問題；
?。?）簡要敘述了穩(wěn)定問題失穩(wěn)判別準(zhǔn)則，探討了斜拉橋穩(wěn)定性的兩種評價(jià)指標(biāo)。
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【作者簡介】
黃澤權(quán)（1978-），男，福建福州人，重慶市軌道交通設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司設(shè)計(jì)人員，碩士研究生。
